Una ecuación se llama diofantina o diofántica cuando todos los coeficientes que aparecen en ella son enteros y las soluciones que se pretende encontrar son todas aquellas que sean enteras. Así, por ejemplo, dado que todos los coeficientes que aparecen en la ecuación en dos variables
\( x+y=xy \)
son unos, ella será una ecuación diofantina si lo que se pretende es encontrar todas las parejas \( x\),\( y \) que cumplan con la condición de que ambos, \( x \) y \( y \), sean números enteros.
El adjetivo diofantino hace honor a Diofanto de Alejandría, matemático de la Grecia clásica de cuya vida se sabe poco y de lo poco que se sabe no todo parece seguro. Por ejemplo, algunos afirman que vivió en el siglo III d. C. pero otros sostienen que fue en el IV d. C. Nada se sabe acerca de su lugar de nacimiento. (El “apellido” de Alejandría hace referencia a que Diofanto perteneció a la llamada Escuela de Alejandría y no al hecho de que haya nacido en la ciudad de Alejandría.)
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Se dice que el personaje representado en el busto que se observa en esta imagen es Diofanto de Alejandría |
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Diofanto de Alejandría como lo presenta el profesor Aurelio Baldor en su famoso libro de Álgebra |
Entre las cosas que se consideran ciertas acerca de Diofanto, está el hecho de que escribió una colección de 13 libros de problemas matemáticos, conocida como Aritmética, en los que planteó y resolvió muchos problemas relacionados con soluciones racionales de ecuaciones. Algunos de estos problemas inspiraron el desarrollo de varías áreas de la moderna teoría de números.
La resolución de ecuaciones diofantinas puede requerir métodos inesperados. Por ejemplo:
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La ecuación diofantina
posee un único par de soluciones que son \( x=y=0 \) y \( x=y=2 \) |
Lo que sigue es una prueba, en cuatro pasos, de esta afirmación.
| Paso 1. La ecuación (1) no posee soluciones enteras \( x\),\(y \) con \( x=1 \) |
Demostración. Supongamos que la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) con \( x=1 \). Entonces, sustituyendo en (1),
\( 1+ y= 1 \centerdot y \)
esto es,
\( 1+ y= y \)
Restando \( y \) a ambos lados,
\( 1=0 \)
| que evidentemente es un absurdo. | ■ |
| Paso 2. La ecuación (1) no posee soluciones enteras \( x\),\(y \) con \( x \geq 3 \) |
Demostración. Supongamos que la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) con \( x \geq 3 \). Entonces
\( x+y=xy \)
Despejando \( y \),
| \( y= \dfrac{x }{x-1} \) | (2) |
Por otro lado, como \( x \geq 3 \) entonces también \( x > 1 \) y, por tanto, \( x-1 >0 \). Además, es evidente que \( x-1 < x \). Por consiguiente, tenemos la cadena de desigualdades
\( 0 < x-1 < x \)
Dividiendo los tres miembros de esta cadena de desigualdades por el entero positivo \( x-1 \),
\( 0< 1< \dfrac{x}{x-1} \)
de donde, teniendo en cuenta (2),
| \( 1< y \) | (3) |
Por otra parte, dado que \( x \geq 3 \) entonces también
\( 2< x \)
Restando \( 2 \) a ambos lados,
\( 0< x-2 \)
Sumando \( x \) a ambos lados,
\( x<2 x-2 \)
Factorizando \( 2 \) en el lado derecho,
\( x<2(x-1) \)
Dividiendo ambos lados por el entero positivo \( x-1 \),
\( \dfrac { x} {x-1}<2 \)
Así, teniendo en cuenta nuevamente (2),
| \( y<2 \) | (4) |
En conclusión, de (3) y (4),
\( 1< y<2 \)
Pero esto es absurdo puesto que \( y \) es un entero y ¡no existen enteros estrictamente
| entre \( 1 \) y \( 2 \) ! | ■ |
| Paso 3. La ecuación (1) no posee soluciones enteras \( x\),\(y \) con \( x \le -1 \) |
Demostración. Supongamos que la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) con \( x \le -1 \). Entonces, de la misma forma en que iniciamos la prueba del Paso 2,
| \( y= \dfrac{x }{x-1} \) | (5) |
Ahora bien, como \( x \le -1 \) entonces, en particular, se tiene que \( x < 0 \) y también que \( x < 1 \). En consecuencia, los dos enteros, \( x \) y \( x-1 \) son ambos negativos y, de este modo, el cociente respectivo es positivo:
\( 0< \dfrac { x} {x-1} \)
Así, recordando (5), se tiene que
| \( 0< y \) | (6) |
Por otra parte, es evidente que
| \( x> x-1\) | (7) |
y, además, como ya habíamos visto, \( x-1<0 \). Entonces, dividiendo ambos lados de (7) por el entero negativo \( x-1 \),
\( \dfrac {x} {x-1} <1 \)
esto es, recordando una vez más (5),
| \( y<1 \) | (8) |
En consecuencia, de (6) y (8),
\( 0<y<1 \)
que de nuevo es absurdo ya que \( y \) es un entero y ¡no existen enteros estrictamente
| entre \( 0 \) y \( 1 \) ! | ■ |
| Paso 4. La ecuación (1) posee exactamente dos soluciones enteras \( x\),\( y \) que son \( x=y=0\) y \( x=y=2\) |
Demostración. De los Pasos 1, 2 y 3 se concluye que si la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) entonces, necesariamente, \( -1<x<3 \). Ahora bien, dado que \( x \) es un entero, solo hay tres posibilidades:
\( x=0 \) \( x=1 \) \( x=2 \)
Pero la posibilidad \( x=1 \) fue descartada en el Paso 1. Esto nos deja con solo las dos posibilidades \( x=0 \) y \( x=2 \).
Supongamos que la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) con \( x=0 \). Entonces, sustituyendo en (1),
\( 0+y=0 \centerdot y \)
es decir,
\( y=0 \)
De este modo, tenemos que si la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) con \( x=0 \) entonces, necesariamente, ella debe ser \( x= 0 \), \( y= 0 \), como en efecto lo es:
\( 0+0=0 \centerdot 0 \)
Supongamos finalmente que la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) con \( x=2 \). Entonces, sustituyendo en (1),
\( 2+y=2y \)
Restando \( y \) a ambos miembros,
\( 2= y \)
Esto significa que si la ecuación (1) posee alguna solución entera \( x\),\(y \) con \( x=2 \) entonces, necesariamente, ella debe ser \( x= 2 \), \( y= 2 \), como en efecto lo es:
\( 2+2=2 \centerdot 2 \)
En conclusión, la ecuación (1) posee exactamente dos soluciones que son
| \( x=y=0 \) y \( x=y=2 \) | ■ |
