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Septiembre de 2003
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¿Demostrada la Conjetura de Poincaré?

La Conjetura de Poincaré es un célebre problema matemático planteado hace casi 100 años pero aún no resuelto (al menos no por ahora). Informalmente, puede considerarse como un problema geométrico relacionado con los intentos de establecer una clasificación apropiada de las superficies. Existe una cantidad infinita de superficies distintas en el espacio. Ejemplos sencillos son los planos. Igualmente, las superficies de las esferas, de los elipsoides y de los toros. Además, los paraboloides, los hiperboloides, etc.

Plano

Superficie de una esfera

 

 

Superficie de un elipsoide

Superficie de un toro

 

 

Paraboloide circular

Paraboloide hiperbólico

De hecho, los nombres de estas superficies dan lugar a criterios elementales de clasificación. Por ejemplo, un círculo es una superficie plana. Un hemisferio (la mitad de la superficie de una esfera) es una superficie esférica. Algunos términos técnicos representan otros criterios de clasificación. Por ejemplo, la superficie de una esfera y la de un elipsoide son ejemplos de superficies cerradas (en el sentido intuitivo de que poseen una región "interior" y otra "exterior" separadas) en tanto que un plano o un paraboloide no lo son. Desde otro punto de vista, la superficie de una esfera y la de un toro son ejemplos de superficies compactas (término técnico un poco más sofisticado que tiene algo que ver con el hecho de que tales superficies son "limitadas", esto es cada una de ellas se encuentra confinada a una región de diámetro finito en el espacio). Un curioso criterio de clasificación está formulado en relación con el hecho de que las superficies posean o no "huecos" u "orificios". Aquellas que no los poseen se denominan superficies simplemente conexas. Por ejemplo, un plano es una superficie simplemente conexa. Por el contrario, la superficie de un toro es un ejemplo de una superficie que no es simplemente conexa ya que presenta un "hueco" en la parte central.

La profunda investigación de las superficies llevada a cabo durante muchos años condujo a los geómetras a ver en las herramientas desarrolladas en el área conocida como Análisis Matemático un poderoso arsenal con el cual potenciar notablemente tal investigación. Procedieron entonces a dotar localmente a las superficies con sistemas de coordenadas (como el que comúnmente se usa en el plano y que permite, entre otras cosas, extender a dimensión $2$ los conceptos del Cálculo Infinitesimal). De este modo, un concepto fundamental del Cálculo Infinitesimal, como lo es el de función diferenciable, fue puesto al servicio de la Geometría con excelentes resultados. (De paso, ideas como esta jugaron un papel esencial en el origen de una bella rama de la Matemática denominada Geometría Diferencial.) Tales superficies, dotadas con sistemas locales de coordenadas y en las cuales, por tanto, es posible "hacer" Cálculo Infinitesimal, fueron denominadas variedades diferenciables o simplemente variedades. Un subproducto de estos trabajos fue la posibilidad de definir nuevos criterios de clasificación para las superficies.

Pero, en el contexto de las variedades, resulta particularmente apropiado un criterio de clasificación proveniente de otra rama de la Matemática denominada Topología, la cual frecuentemente se define como la investigación, a un nivel considerablemente abstracto, de aquellas propiedades de las superficies que no son alteradas por "deformaciones continuas". La noción topológica de "deformación continua" es descrita intuitivamente mediante la sugerencia de pensar en las superficies como si fuesen objetos reales hechos de algún material elástico como por ejemplo el caucho. De este modo, las superficies pueden ser deformadas cambiando de aspecto. Las "deformaciones continuas", tal como son entendidas por los topólogos, permiten "estirar", "contraer" y "retorcer" pero no "rasgar" ni "romper". Así, un plano puede ser deformado continuamente en un paraboloide de revolución y la superficie de una esfera puede ser deformada continuamente en la superficie de un elipsoide. En cambio, no es posible deformar continuamente la superficie de una esfera en la de un toro debido a que no se puede eludir la necesidad de hacer un "rompimiento" para obtener el "agujero" característico de la superficie del toro.

A los ojos de un especialista en Topología, si una superficie puede ser deformada continuamente en otra, entonces las dos son "esencialmente iguales" ya que aquellas propiedades que interesan al topólogo no son afectadas durante el proceso de deformación. Los topólogos utilizan la expresión técnica superficies homeomorfas para referirse a aquellas superficies que son "esencialmente iguales". (La noción precisa de superficies homeomorfas es un poco más complicada de explicar y en la práctica resulta ser ligeramente más general que la noción intuitiva de superficies "esencialmente iguales".) Así, en el lenguaje de la Topología, las superficies de dos esferas con radios distintos son homeomorfas. (El procedimiento práctico de inflar un balón deportivo hasta alcanzar un radio sensiblemente mayor materializa la noción intuitiva de deformar continuamente la superficie de una esfera en la de otra esfera de radio mayor.) En consecuencia, para un topólogo sólo hay ¡una superficie de esfera en el espacio! y por eso él habla de "la" esfera. (En Topología se usa la expresión "la esfera" para referirse a lo que en el presente texto he estado denominando hasta ahora "la superficie de una esfera". De aquí en adelante seguiré esta convención del lenguaje de los topólogos.)

El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue completamente resuelto en el siglo XIX. Por ejemplo, se observó que la esfera es una variedad de dimensión $2$ (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa. La intuición sugiere que estas propiedades parecen caracterizar topológicamente la esfera. En efecto, se estableció que toda variedad de dimensión $2$, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: Esencialmente, sólo hay una variedad de dimensión $2$, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera.

El paso siguiente fue extender el concepto de variedad a otros espacios. Las variedades mencionadas hasta ahora son de dimensión $2$ y están inmersas en el espacio de dimensión $3$. Por analogía, se definieron las variedades de dimensión $3$ en el espacio de dimensión $4$ (se puede pensar en estas variedades como si fueran las "superficies" propias del espacio de dimensión $4$) y, más generalmente, se definieron las variedades de dimensión $n$ en el espacio de dimensión $n+1$. En realidad, el concepto de variedad se extendió de tal manera que en el espacio de dimensión $n+1$ hay variedades de dimensiones $0$, $1$, $2$,... , $n+1$.

Jules Henry Poincaré

En 1904, el gran matemático francés Jules Henry Poincaré (1854–1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera del espacio de dimensión $3$ tenía un análogo para la esfera del espacio de dimensión $4$. En otras palabras:

En el espacio de dimensión $4$, toda variedad de dimensión $3$, cerrada y simplemente conexa, es homeomorfa a la esfera de dimensión $3$.

El mismo Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la Topología Geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Aún más, llegó a convertirse en uno de los problemas abiertos más importantes de la Matemática. Se denominó la Conjetura de Poincaré.

Una técnica empleada con éxito algunas veces por los matemáticos para intentar resolver un problema difícil es particularizarlo, resolver el problema particularizado y, con las pistas que esto proporciona, retornar al problema original. En el otro extremo del espectro, está la técnica de generalizarlo, resolver el problema generalizado y, con la visión que de este modo se logra, retornar al problema original. Con este último enfoque, se procedió a generalizar la Conjetura de Poincaré a espacios de dimensión arbitraria adquiriendo la siguiente forma:

En el espacio de dimensión $n+1$, cada variedad compacta de dimensión $n$ es homotópicamente equivalente a la esfera de dimensión $n$ si, y sólo si, es homeomorfa a la esfera de dimensión $n$.

(La homotopía es otro concepto técnico matemático que en cierto sentido puede considerarse que tiene que ver también con la existencia o no de "huecos".)

La versión generalizada de la Conjetura de Poincaré resultó ser un problema en gran medida desafiante. Aunque para $n=1$ es trivial y para $n=2$ ya había sido demostrada en el siglo XIX, tan sólo en 1961 fue demostrada para $n=5$ por Erik Christopher Zeeman (1925−). Ese mismo año el estadounidense Stephen Smale (1930−) obtuvo un sensacional avance al demostrarla para todo $n\geq 7$. En 1962, John R. Stallings demostró el caso $n=6$. Los casos $n=3$ y $n=4$ mostraron ser extremadamente difíciles. Hubo que esperar hasta 1986 cuando el estadounidense Michael Hartley Freedman (1951−), en lo que fue considerado una espectacular hazaña matemática, consiguió demostrar el caso $n=4$. (Su logro fue de tal magnitud que lo hizo merecedor de una Medalla Fields en 1986.) Irónicamente, después de ser resuelto exitosamente en todas las demás dimensiones, ¡el caso original $n=3$ se mantuvo inusitadamente resistente a los ataques más agresivos de los matemáticos!

 

Erik Christopher Zeeman

Stephen Smale

 

 

John R. Stallings

Michael Hartley Freedman

Resulta sumamente curioso el hecho de que, contrariamente a lo que podría esperarse, la conjetura se muestre mucho más difícil de probar en dimensiones inferiores que en las superiores. ¿Por qué se da esta situación? El eminente matemático estadounidense John Willard Milnor (medallista Fields en 1962 por sus aportes a la investigación de la clasificación de las variedades) explica así este fenómeno:

Finalizando la década de 1950 y comenzando la de 1960, se observó una avalancha de progreso con el descubrimiento de que las variedades de dimensiones superiores son realmente más fáciles de trabajar que las de dimensión $3$. Una razón para esto es la siguiente: El grupo fundamental juega un papel importante en todas las dimensiones, incluso en el caso en que resulta ser trivial, y las relaciones entre generadores del grupo fundamental corresponden a discos bidimensionales aplicados en la variedad. En dimensión $5$ o mayor, tales discos pueden ponerse en posición general de tal manera que son disjuntos por parejas, sin autointersecciones, pero en dimensión $3$ o $4$ no parece posible evitar las intersecciones, lo cual conduce a serias dificultades.

Así las cosas, la Conjetura de Poincaré regresó finalmente a su estado original: El caso $n=3$ en el espacio de dimensión $4$. Ha habido muchos intentos fallidos de demostración entre matemáticos profesionales y aficionados. El mismo Poincaré, cuatro años antes de formular la conjetura, creyó tener una demostración pero poco después encontró un contraejemplo. Algo parecido ocurrió con John Henry Constantine Whitehead quien en 1934 propuso otra supuesta demostración para la cual él mismo descubrió un contraejemplo conocido como el enlace de Whitehead.

Mark Brittenham de University of Nebraska señala que hay tal cantidad de producción sobre el tema que la American Mathematical Society dedicó un código de clasificación de temas (57M40) para los artículos que pretenden demostrar o refutar la Conjetura de Poincaré. Brittenham también se refiere con gracia a la enfermedad que esto ha generado:

Con la Conjetura de Poincaré en particular, parece darse la enfermedad llamada Poincaritis que algunas personas adquieren —una vez enfermas, ellas continúan tratando de probar la conjetura de Poincaré durante aproximadamente 20 años continuos. Ha habido una gran cantidad de topólogos bien conocidos que han sido atacados por esta enfermedad (...) como R. H. Bing, John Stallings, John Hempel, y C. D. Papakyriakopoulos.

La Conjetura de Poincaré, por su importancia y por el notable grado de dificultad que comportan todos los intentos de demostrarla, adquirió un estatus similar al de otros problemas matemáticos famosos como El Último Teorema de Fermat (resuelto en 1994) y la Hipótesis de Riemann (aún abierto). Más aún, un inusitado interés en demostrar la conjetura de Poincaré se ha despertado después de que, en mayo de 2000, el Clay Mathematics Institute, de Cambridge, Massachusetts, anunció oficialmente la apertura del concurso Millennium Prize Problem. Consiste en siete problemas cuidadosamente seleccionados que, como la Conjetura de Poincaré, son relevantes en diferentes áreas de la Matemática y se han resistido a los esfuerzos por resolverlos. (Para algunos matemáticos, se trata de los siete problemas no resueltos más importantes y más difíciles de la Matemática actual.) El premio, para cada uno de los siete problemas, es ¡un millón de dólares! para la primera solución correcta que sea presentada. Una de las reglas del premio especifica que la solución propuesta deberá estar expuesta previamente, por un periodo de al menos dos años, al escrutinio de la comunidad matemática internacional. No obstante, para muchos matemáticos es claro que, dada la naturaleza de los problemas seleccionados, la solución de uno de ellos indudablemente proporcionará a su autor no sólo una considerable cantidad de dinero sino además un lugar sobresaliente en la historia de la Matemática.

A partir del momento en que se anunció el premio, varios "competidores" probaron suerte. Un caso que recibió difusión ocurrió en abril de 2002 cuando M. J. Dunwoody presentó un artículo de cinco páginas con una supuesta demostración de la Conjetura de Poincaré pero rápidamente se le encontró un falla fundamental. El 16 de octubre de 2002, el distinguido matemático Everett Pitcher, quien fue profesor del Departamento de Matemáticas de Lehigh University desde 1938 hasta 1978 y además Secretario de la American Mathematical Society desde 1967 hasta 1988, presentó, en Lehigh University, una conferencia titulada The Poincaré Conjecture is True. Pitcher sometió el documento correspondiente para publicación pero aún no parece haber reportes de aceptación. Por otra parte, el 22 de octubre de 2002, Sergey Nikitin de Arizona State University, publicó un preprint en arXiv e-Print Archive, en el que propone otra demostración de la Conjetura de Poincaré reduciéndola al caso de ciertas variedades denominadas estelares. El 31 de octubre, el grupo de noticias sci.math.research publicó un supuesto contraejemplo para esta demostración. Entre el 30 de octubre y el 10 de diciembre, Nikitin agregó siete versiones del preprint con correcciones y mejoras. El preprint aún está expuesto en arXiv pero en este caso tampoco parece haber comentarios al respecto en los medios.

Grigoriy Perelman

En noviembre de 2002 corrió el rumor en la Internet de que el matemático ruso Grigoriy Perelman, del Instituto Steklov de la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo, había publicado en arXiv un preprint en el que presentaba una demostración de la Conjetura de Poincaré. Esto llamó poderosamente la atención ya que Perelman es reconocido como un sobresaliente especialista en Geometría Diferencial. Además, el rigor y la solidez de su trabajo goza de prestigio en la comunidad matemática.

Efectivamente, el 11 de noviembre de 2002, Perelman puso a consideración de la comunidad matemática mundial su preprint de 39 páginas The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. Sorpresivamente, Perelman no anuncia en este preprint una demostración de la Conjetura de Poincaré sino de otra conjetura más general (que implica la de Poincaré) denominada la Conjetura de Geometrización de Thurston. Esta última conjetura fue propuesta en 1970 por el matemático estadounidense William Paul Thurston (1946−), ganador de una Medalla Fields en 1982 por su revolucionario e influyente trabajo de investigación acerca de las variedades de dimensiones $2$ y $3$. La Conjetura de Geometrización de Thurston es descrita como un conjetura mucho más ambiciosa que la de Poincaré puesto que plantea una clasificación muy precisa de todas las variedades tridimensionales. Dada la relación entre ambas conjeturas, basta demostrar la Conjetura de Geometrización de Thurston para que, en particular, quede automáticamente demostrada la Conjetura de Poincaré.

El 10 de marzo de 2003, Perelman publicó en arXiv un segundo preprint de 22 páginas con el título Ricci flow with surgery on three−manifolds en el cual anuncia algunas mejoras y complementa varios aspectos del preprint del 11 de noviembre. Ambos preprints son de un nivel altamente técnico, accesibles prácticamente sólo a los especialistas del área.

Los días 7, 9 y 11 de abril de 2003, Perelman ofreció un ciclo de conferencias públicas en el Departamento de Matemáticas del prestigioso Massachusetts Institute of Technology (MIT). El ciclo se tituló Ricci Flow and Geometrization of Three−Manifolds. Esta fue la primera discusión pública de Perelman sobre los resultados contenidos en sus dos preprints expuestos en arXiv.

Grigoriy Perelman presenta su demostración de  la Conjetura de Geometrización de Thurston.

Más de 100 matemáticos asistieron al ciclo de conferencias, entre ellos personajes notables como Andrew Wiles, autor de la primera demostración correcta del Último Teorema de Fermat, y John Forbes Nash, Jr., mundialmente famoso a partir de la cinta A Beautiful Mind. (Vale la pena mencionar que muy temprano en su juventud Nash demostró un teorema "sorprendente" y "hermoso" —calificado así por matemáticos de la época— que desveló una inesperada relación entre las variedades suaves compactas y las variedades denominadas algebraicas. Poco después demostró otro teorema según el cual toda variedad riemanniana puede ser inmersa en algún espacio euclidiano, teorema que, según afirmó en 1994 el también mundialmente famoso matemático John Horton Conway, es "una de las obras de análisis matemático más importantes del siglo".)

El 15 de abril de 2003, en su sección Ciencia, el periódico New York Times dio a conocer al mundo la noticia sobre la demostración propuesta por Perelman en un reportaje titulado Celebrated Math Problem Solved, Russian Reports.

El mismo 15 de abril, el acontecimiento fue reseñado en MathWorld Headline News, la sección de noticias de Eric Weisstein's World of Mathematics con el título Poincaré Conjecture Proved — This Time for Real.

El 17 de abril The Daily Princetonian publicó la noticia titulándola Perelman explains proof to famous math mystery.

El 20 de abril, en su edición dominical, el New York Times retomó la historia en la sección Week in Review bajo el título A Mathematician's World of Doughnuts and Spheres.

El 7 de mayo, la BBC, en su edición online de BBC News, se refirió al tema bajo el titular Great maths puzzle 'solved'.

La opinión de los expertos refleja un cauto optimismo. Tras el ciclo de conferencias en el MIT, el afamado matemático Peter Sarnak expresó que Perelman "obviamente ha logrado un avance notable" pero agregó que, aunque el geómetra ruso "no ha hecho afirmaciones que no pueda sustentar previamente, podría haber errores en lugares muy delicados". De cualquier modo, Sarnak destaca la dimensión del trabajo realizado por Perelman: "Él no está confrontando directamente la Conjetura de Poincaré. Está tratando de conseguir una meta mucho más ambiciosa".

Hasta el momento, todo parece indicar que podríamos estar asistiendo a otro acontecimiento histórico en Matemática: la demostración de la Conjetura de Poincaré. Sin embargo, debemos esperar un poco más de un año para que se consolide el concepto de la comunidad matemática mundial y luego aguardar el veredicto del Clay Mathematics Institute.

Mientras tanto, muchos se preguntan si el premio del millón de dólares constituye la motivación principal para el colosal esfuerzo de Perelman. No sería extraño que así fuera si se tiene en cuenta que Perelman ha realizado este trabajo en Rusia, en solitario, durante ocho años, afrontando las difíciles condiciones por las que pasan los académicos rusos como consecuencia de la situación que se vive actualmente en ese país. La matemática Sun-Yung Alice Chang, galardonada con el premio Ruth Lyttle Satter en 1995 por sus profundas contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales parciales en variedades Riemannianas, opina: "No creo que el millón de dólares sea la motivación". La Conjetura de Poincaré está "en la misma escala del Último Teorema de Fermat. [Demostrarla] lo coloca a usted en la historia de las matemáticas; el sueño de todo matemático".

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